Question

（2012•长春模拟）等差数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，满足2S₂=a₂（a₂+1），且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

2Sn+13

n

，求数列{b_n}的最小值项．

Answer 1

分析：（1）由2S₂=a₂（a₂+1），利用等差数列的求和公式及通项公式及a₁=1，可求d，可求通项
（2）根据（1）可求b_n=

2Sn+13

n

=

n(n+1)+13

n

=

13

n

+n+1，根据函数f（x）=x+

13

x

（x＞0）的单调性可求函数f（n）的最小值，即可求解

解答：解：（1）由2S₂=a₂（a₂+1），可得2（2a₁+d）=(a1+d)2+(a1+d)
又a₁=1，可得d=1．数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n（4分）
（2）根据（1）得Sn=

n(n+1)

2

，b_n=

2Sn+13

n

=

n(n+1)+13

n

=

13

n

+n+1
由于函数f（x）=x+

13

x

（x＞0）在（0，

13

）上上单调递减，在[

13

，+∞）上单调递增，
而3＜

13

＜4，且f（3）=3+

13

3

=

22

3

＞f（4）=4+

13

4

=

29

4

所以当n=4时，b_n取得最小值，且最小值为

29

4

+1=

33

4

即数列{b_n}的最小值项是b4=

33

4

．（12分）

点评：本小题主要考查等差数列基本量的求取、等差数列求和公式以及函数单调性等有关知识的应用．