Question

【题目】已知各项是正数的数列的前项和为．若，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）利用数列的通项与前n项和的关系，当时，由，得到，两式相减化简得到，再利用等差数列的定义求解.

（2）由（1）知，，，将对任意恒成立，转化为对一切恒成立， 记，利用作差法研究其单调性，求其最大值即可.

（1）当时，由， ①

则 ②

②-①得，

又各项是正数，得，

当时，由①知，即，

解得或（舍），

所以，

即数列为等差数列，且首项，

所以数列的通项公式为．

（2）由（1）知，，所以，

由题意可得对一切恒成立，

记，则，，

所以，，

当时，，当时，，且，，，

所以当时，取得最大值，

所以实数的取值范围为．