Question

【题目】设分别为椭圆的左、右焦点,点为椭圆的左顶点,点为椭圆的上顶点,且.

（Ⅰ）若椭圆的离心率为,求椭圆的方程;

（Ⅱ）设为椭圆上一点,且在第一象限内,直线与轴相交于点,若以为直径的圆经过点,证明: .

Answer 1

【答案】（I）；（II）详见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意离心率以及可以建立关于， ， 的方程组，求得， ， 的值即可求解；（2）设，根据题意将， 用含的代数式表示，从而可以建立关于的函数表达式，即可得证．

试题解析：（1）设，由题意，得，且，得， ， ，

∴椭圆的方程为；（2）由题意，得，∴椭圆的方程，则， ， ，设，由题意知，则直线的斜率，直线的方程为，当时， ，即点，直线的斜率为，∵以为直径的圆经过点，∴，∴，化简得，又∵为椭圆上一点，且在第一象限内，∴， ， ，由①②，解得， ，∴，∵，

∴，∴．