Question

（本题满分12分）

已知整数列满足，，前项依次成等差数列，从第项起依次成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)求出所有的正整数，使得．

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a₅=－1+2d，a₆=－1+3d，d为整数.

    又a₅，a₆，a₇成等比数列，所以(3d－1)²=4(2d－1)，

    即  9d²－14d+5=0，得d =1.                                 …………………3分

    当n≤6时，a_n =n－4，

    由此a₅=1，a₆=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，

    所以，当n≥5时，a_n =2^n-5.

    故                             …………………6分

(2) 由（1）知，数列为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…

    当m=1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；

    当m=3时等式成立，即 －1+0+1=0； 

    当m=2、4时等式不成立；                           …………………9分

    当m≥5时，a_ma_m+1a_m+2 =2^3m-12， a_m +a_m+1+a_m+2=2^m-5(2³－1)=7×2^m-5，

             7×2^m-5≠2^3m-12，

    所以 a_m +a_m+1+a_m+2≠a_ma_m+1a_m+2 .                                             

    故所求 m= 1，或m=3．                             …………………12分

 

【解析】略