Question

18．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个零点，则实数m的取值范围是[1，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，由题意可得 函数y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象和直线 y=m在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个交点，再利用正弦函数的定义域和值域，求得m的范围．

解答 解：∵函数f（x）=（sinx+cosx）²-2sin²x-m=1+2sinxcosx-2sin²x-m，
=sin2x+cos2x-m=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个零点，
∴函数y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象和直线 y=m在[0，$\frac{π}{2}$]上有两个交点．
∵在[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，∴$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，
令t=2x+$\frac{π}{4}$，由题意可得，函数y=$\sqrt{2}$sint的图象和直线 y=m在[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]上有两个交点，如图：
故m∈[1，$\sqrt{2}$），
故答案为：[1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查方程的根的存在性以及个数判断，三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．