题目内容

如图，在△OAB中，C为OA上的一点，且 $数学公式$ 是BC的中点，过点A的直线l∥OD，P是直线l上的任意点，若 $数学公式$ ，则λ₁-λ₂=________．

- $\text{[math]}$
分析：根据OD是△OBC的中线，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．由直线l∥OD，可得存在实数k使 $\text{[math]}$ =k $\text{[math]}$ ，再化简得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ，结合已知等式可得 $\text{[math]}$ =λ₁且 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =λ₂，由此即可算出则λ₁-λ₂的值．
解答：

∵D是BC的中点，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∵直线l∥OD，∴存在实数k，使 $\text{[math]}$ =k $\text{[math]}$ ，
因此， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +k（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ，
∵由已知，得 $\text{[math]}$
∴根据平面向量基本定理，得 $\text{[math]}$ =λ₁且 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =λ₂
因此，λ₁-λ₂= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$
故答案为：- $\text{[math]}$
点评：本题在△OAB中，给出边的三等分点C和△OBC的中线OD，探索向量 $\text{[math]}$ 表示成 $\text{[math]}$ 的线性组合问题，着重考查了平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题．