Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的半焦距为c．已知原点到直线l：bx+ay=ab的距离等于

1

4

c+1，则c的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先根据点到直线的距离求得知

ab

a2+b2

=

ab

c

=

c

4

+1，进而根据均值不等式的性质求得ab≤

a2+b2

2

=

c2

2

求得c的范围．

解答：解：依题意可知

ab

a2+b2

=

ab

c

=

c

4

+1
∴ab=

1

4

c²+c
∵ab≤

a2+b2

2

=

c2

2

∴

1

4

c²+c≤

c2

2

，解得c≥4或c≤0（舍去）
故答案为4

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是利用点到直线的距离求得a，b和c的关系．