Question

设椭圆+=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁(-2,0),左准线l₁与x轴交于点N(-3,0),过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点.

(1)求直线l和椭圆的方程;

(2)求证:点F₁(-2,0)在以线段AB为直径的圆上;

(3)在直线l上有两个不重合的动点C、D,以CD为直径且过点F₁的所有圆中,求面积最小的圆的半径长.

Answer 1

(1)解：直线l:y=(x+3),

    由已知c=2及=3,

    解得a²=6,∴b²=6-2²=2.

    ∴椭圆方程为+=1.

    (2)证明：解方程组

    将②代入①,整理得2x²+6x+3=0.         ③

    设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则x₁+x₂=-3,x₁x₂=.

    方法一:·=·

    =

    =

    =-1,

    ∴F₁A⊥F₁B,即∠AF₁B=90°.

    ∴点F₁(-2,0)在以线段AB为直径的圆上.

    方法二:·=(x₁+2,y₁)·(x₂+2,y₂)

    =(x₁+2)(x₂+2)+y₁y₂

    =x₁x₂+2(x₁+x₂)+4+［x₁x₂+3(x₁+x₂)+9］

    =x₁x₂+3(x₁+x₂)+7=0,

    ∴F₁A⊥F₁B.则∠AF₁B=90°.

    ∴点F₁(-2,0)在以线段AB为直径的圆上.

    (3)解：面积最小的圆的半径长应是点F₁到直线l的距离,设为r.

    ∴r==为所求.