Question

已知三棱锥P-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=2，PA=PB=PC=2，则该三棱锥的外接球面上，P、A两点的球面距离是（　　）

• A、

  4 3 π

  9

• B、

  8 3 π

  9

• C、

  16 3 π

  9

• D、

  32 3 π

  9

Answer 1

分析：先说明P在底面上的射影是AB的中点，也是底面外接圆的圆心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积．

解答：解：由题意，点P在底面上的射影D是AB的中点，是三角形ABC的外心，令球心为O，如图在直角三角形ODC中，
由于AD=1，PD=

4-1

=

3

，则 (

3

-R)2+1=R2
 解得R=

2

3

，
∴cos∠POC=

4 3 + 4 3 -4

2× 2 3 × 2 3

=-

1

2

∴∠POC=

2π

3

∴P、A两点的球面距离是

2π

3

×

2

3

=

4 3 π

9

故选A

点评：本题是基础题，考查球的内接体，球面距离及相关计算，考查计算能力，空间想象能力，转化思想的应用．