Question

17．已知函数f（x）=x²+2cosx，x∈R，若$f（{log_{\frac{1}{3}}}a）+f（{log_3}a）≤2f（1）$，则实数a的取值范围为[$\frac{1}{3}$，3]．

Answer 1

分析 确定函数f（x）=x²+2cosx是偶函数，运用导数判断函数的单调性，可将不等式$f（{log_{\frac{1}{3}}}a）+f（{log_3}a）≤2f（1）$，化简为f（|log₃a|）≤f（1），即|log₃a|≤1，解得即可得到a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x²+2cosx，
∴函数f（x）是定义在R上的偶函数，
又f′（x）=2x-2sinx≥0，
∴f″（x）=2-2cosx≥0
∴f（x）在R上单调递增，
∵$f（{log_{\frac{1}{3}}}a）+f（{log_3}a）≤2f（1）$，
∴f（-log₃a）+f（log₃a）≤2f（1），
∴2f（log₃a）≤2f（1）即f（log₃a）≤f（1），
即f（|log₃a|）≤f（1），
∵f（x）在R上单调递增，
∴|log₃a|≤1，
即-1≤log₃a≤1，解得$\frac{1}{3}$≤a≤3．
故答案为：[$\frac{1}{3}$，3]．

点评 本题考查函数的性质及运用，考查函数的奇偶性、单调性及运用，注意函数的定义域，注意运用导数判断单调性，属于中档题．