题目内容

（1）证明函数 f（x）=x+
4
x
 在x∈[2，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[4，8]上的值域．
证明：（1）设2＜x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=x1+
1
x1
-x2-
1
x2
=x1-x2+
4(x2-x1)
x1•x2

=（x1-x2）（1-
4
x1x2
）
∵2＜x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2＞4即0＜
4
x1x2
＜1，
∴1-
4
x1x2
＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）是增函数；
（2）由（1）知f（x）在[4，8]上是增函数，
f（x）max=f（8）=
17
2
；
f（x）min=f（4）=5，
∴f（x）的值域为：[5，
17
2
]；
练习册系列答案
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已知函数f(x)=1-
22x+1
，
（1）证明函数f（x）的奇偶性；
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f(m)+f(n)
m+n
＞0．
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1
2
)＜f(1-x)．
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（1）证明函数f（x）是偶函数；
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1x
在x∈[1，+∞）上是增函数；
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（2012•广州二模）已知函数f（x）的定义域为（-1，1），且f(
1
2
)=1，对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)，数列{an}满足a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
(n∈N*)．
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）求数列{f（an）}的通项公式；
（3）令An=
a1+a2+…+an
n
(n∈N*)，证明：当n≥2时，|
n
i=1
ai-
n
i=1
A1|＜
n-1
2
．

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