Question

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时，有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）证明函数f（x）在其定义域上是增函数；
（2）解不等式f(x+

1

2

)＜f(1-x)．

Answer 1

分析：（1）令m=x₁，n=-x₂，且-1≤x₁＜x₂≤1，代入条件，根据函数单调性的定义进行判定；
（2）根据函数的单调性，以及函数的定义域建立不等式组，解之即可．

解答：（1）证明：令m=x₁，n=-x₂，且-1≤x₁＜x₂≤1，
代入

f(m)+f(n)

m+n

＞0得

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．
∵x₁＜x₂
∴f（x₁）＜f（x₂）
按照单调函数的定义，可知该函数在[-1，1]上单调递增．
（2）由（1）可得原不等式等价于

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤1-x≤1 x+ 1 2 ＜1-x

∴0≤x＜

1

4

点评：本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数单调性的应用，同时考查了不等式组的解法，属于基础题．