题目内容
（1）证明函数 f（x）=x+
在x∈[1，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[2，4]上的值域．
| 1 | x |
（2）求f（x）在[2，4]上的值域．
分析：（1）利用增函数的定义即可证明：设1≤x1＜x2，只需利用作差证明f（x1）＜f（x2）；
（2）由（1）知f（x）在[2，4]上的单调性，根据单调性可求得f（x）的最大值、最小值，从而可得函数的值域；
（2）由（1）知f（x）在[2，4]上的单调性，根据单调性可求得f（x）的最大值、最小值，从而可得函数的值域；
解答：（1）证明：设1≤x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=x1+
-x2-
=x1-x2+
=（x1-x2）（1-
），
∵1≤x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2＞1，则0＜
＜1，
∴1-
＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数；
（2）解：由（1）知f（x）在[2，4]上是增函数，
∴f（x）max=f（4）=
，f（x）min=f（2）=
，
∴f(x)的值域为[
，
]．
f（x1）-f（x2）=x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
=x1-x2+
| x2-x1 |
| x1x2 |
=（x1-x2）（1-
| 1 |
| x1x2 |
∵1≤x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2＞1，则0＜
| 1 |
| x1x2 |
∴1-
| 1 |
| x1x2 |
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数；
（2）解：由（1）知f（x）在[2，4]上是增函数，
∴f（x）max=f（4）=
| 17 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
∴f(x)的值域为[
| 5 |
| 2 |
| 17 |
| 4 |
点评：本题考查函数单调性的证明及其应用，属基础题，定义是证明函数单调性的基本方法，要熟练掌握．
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