Question

已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．

   （Ⅰ）求的解析式；

   （Ⅱ）是否存在自然数，使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）是二次函数，且的解集是，

可设．

在区间上的最大值是．

由已知，得．．

．

   （Ⅱ）方程等价于方程．

设，

则．

当时，是减函数；

当时，是增函数．

，

方程在区间内分别有惟一实数根，

而在区间内没有实数根．

所以存在惟一的自然数，

使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根．