Question

设函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足①f（x₁-x₂）=

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

；②存在正常实数a，使f（a）=1．求证：
（1）f（x）是奇函数；
（2）f（x）是周期函数，并且有一个周期为4a．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的判断,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将x₁-x₂和x₂-x₁分别代入抽象表达式①，即可判断f（x₁-x₂）与f（x₂-x₁）之间互为相反数，并推断函数f（x）为奇函数．
（2）根据条件f（a）=1，结合抽象函数的关系以及周期的定义进行推导即可．

解答： 解：（1）不妨令x=x₁-x₂，
则f（-x）=f（x₂-x₁）=

f(x2)f(x1)+1

f(x1)-f(x2)

=-

f(x1)f(x2)+1

f(x2)-f(x1)

=-f（x₁-x₂）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）若f（a）=1，则f（-a）=-1，
f（x-a）=

f(x)f(a)+1

f(a)-f(x)

=

f(x)+1

1-f(x)

，
则f（x-2a）=f（x-a-a）=

f(x-a)+1

1-f(x-a)

=

f(x)+1 1-f(x) +1

1- f(x)+1 1-f(x)

=

f(x)+1+1-f(x)

1-f(x)-f(x)-1

=-

1

f(x)

，
即 f（x-4a）=f（x-2a-2a）=-

1

f(x-2a)

=f（x），
∴f（x-4a）=f（x），
∴f（x）是周期函数，4a是一个周期．

点评：本题主要考查抽象函数的应用以及函数奇偶性和周期性的判断和求解，利用定义是解决本题的关键．