Question

11．已知函数f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，g（x）=lnx-2x，h（x）=f（x）-a•g（x）．
（1）求f（x）的极值；
（2）当a＜-2时，求函数h（x）的单调区间；
（3）若对任意的a∈（-4，-2），总存在x₁，x₂∈[1，2]，使不等式（m+ln2）a-2ln2＜|h（x₁）-h（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值．
（2）求出函数h（x）的解析式，求出导函数，然后利用导函数的符号，求解函数的单调区间．
（3）题意转化为（m+ln2）a-2ln2小于|h（x₁）-h（x₂）|的最大值，利用函数的单调性求出最值，通过a的范围求解m的范围即可．

解答 解：（1）由函数f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，可得$f'（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{2x-1}{x^2}（x＞0）$
得f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上是减函数，在$（\frac{1}{2}，+∞）$上为增，
所以$f{（x）_{极小值}}=f（\frac{1}{2}）=2-2ln2$，无极大值．…（3分）
（2）由已知可得$h（x）=（2-a）lnx+\frac{1}{x}+2ax$，$h'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{{2a{x^2}+（2-a）x-1}}{x^2}=\frac{（ax+1）（2x-1）}{x^2}（x＞0）$
当a＜-2时，h（x）的减区间为$（0，-\frac{1}{a}）$和$（\frac{1}{2}，+∞）$，增区间为$（-\frac{1}{a}，\frac{1}{2}）$．…（7分）
（3）当-4＜a＜-2时，由（2）可知h（x）在[1，2]上为减函数，
所以$|h（{x_1}）-h（{x_2}）{|_{max}}=h（1）-h（2）=\frac{1}{2}-2a+（a-2）ln2$
故$（m+ln2）a-2ln2＜|h（{x_1}）-h（{x_2}）{|_{max}}=\frac{1}{2}-2a+（a-2）ln2$
即$ma＜\frac{1}{2}-2a$对任意的a∈（-4，-2）恒成立
于是$m＞\frac{1}{2a}-2$对任意的a∈（-4，-2）恒成立，
由$-\frac{9}{4}＜\frac{1}{2a}-2＜-\frac{17}{8}$，所以$m≥-\frac{17}{8}$．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．