题目内容

已知空间向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ • $数学公式$ = $数学公式$ ，α∈（0， $数学公式$ ）．
（1）求sin2α及sinα，cosα的值；
（2）设函数f（x）=5cos（2x-α）+cos2x（x∈R），求f（x）的最小正周期和图象的对称中心坐标；
（3）求函数f（x）在区间 $数学公式$ 上的值域．

解：（1）由题意可得 $\text{[math]}$ =（sinα-1）+（1-cosα）=sinα-cosα= $\text{[math]}$ ①，且α为锐角．
平方可得1-2sinαcosα= $\text{[math]}$ ，即sin2α= $\text{[math]}$ ②．
由①②解得 sinα= $\text{[math]}$ ，cosα= $\text{[math]}$ ．
（2）∵函数f（x）=5cos（2x-α）+cos2x=5cos2xcosα+5sin2xsinα+cos2x=4sin2x+4cos2x
=4 $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
故函数f（x）的最小正周期为 $\text{[math]}$ =π．
令2x+ $\text{[math]}$ =kπ，k∈z，可得x= $\text{[math]}$ ，故对称中心的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），k∈z．
（3）由于当x∈ $\text{[math]}$ 时，（2x+ $\text{[math]}$ ）∈[- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ]，
故-1≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤- $\text{[math]}$ ，-4 $\text{[math]}$ ≤4 $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤-2 $\text{[math]}$ ，
故函数f（x）的值域为[-4 $\text{[math]}$ ，-2 $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）由题意可得 $\text{[math]}$ =sinα-cosα= $\text{[math]}$ ①，且α为锐角，平方可得sin2α= $\text{[math]}$ ②，解①②可得sinα，cosα的值．
（2）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为4 $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），由此求得最小正周期，以及对称中心的坐标
（3）由于当x∈ $\text{[math]}$ 时，（2x+ $\text{[math]}$ ）∈[- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ]，由此求得sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的范围，即可求得函数f（x）的值域．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的对称性、定义域和值域，属于中档题．