Question

已知α、β是三次函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈（0，1），β∈（1，2），则

b-2

a-1

的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：求出导函数，据韦达定理求出α，β与a，b的关系，据α，β的范围求出a，b的范围，画出关于a，b的不等式组的可行域，由图数形结合求出

b-2

a-1

的范围．

解答：解：f′（x）=x²+ax+2b
∵α，β是f（x）的极值点，
所以α，β是x²+ax+2b=0的两个根
∴α+β=-a，αβ=2b
∵α∈（0，1），β∈（1，2），
∴1＜α+β＜3，0＜αβ＜2
∴1＜-a＜3，0＜2b＜2
∴

-3＜a＜-1 0＜b＜1

作出不等式组∴

-3＜a＜-1 0＜b＜1

的可行域

b-2

a-1

表示可行域中的点与（1，2）连线的斜率
有图知，当当点为（-3，1）和（-1，0）时分别为斜率的最小、最大值
所以此时两直线的斜率分别是

2-1

1--3

=

1

4

，  

2-0

1-(-1)

=1
故答案为(

1

4

，1)

点评：本题考查函数在极值点处的值为0；利用线性规划求函数的最值，关键是给目标函数几何意义．