Question

【题目】江苏省园博会有一中心广场，南京园，常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为km，km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为km．规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园，常州园，扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路（如图(1)、(2)）．已知铺设每段鹅卵石路的费用（万元）与其长度的平方成正比，比例系数为2．设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF为（(0，)），铺设三段鹅卵石路的总费用为y（万元）．

（1）求南京园到柏油路的最短距离关于的表达式；

（2）求y的最小值及此时tan的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）铺设三条鹅卵石路的总费用为()万元，此时的值为.

【解析】

（1）由∠COF=θ，南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为，求出∠AOE=，由此能求出南京园到柏油路的最短距离d1关于θ的表达式．

（2）分别设点B，C到直线EF的距离为d2，d3，则，求出y=2[（）2+（2）2+（）2]=20﹣10sin（2），θ∈（0，），由此能求出铺设三条鹅卵石路的总费用y的最小值及此时tanθ的值．

（1）∵∠COF=θ，

南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为

∴∠AOE=，

∴南京园到柏油路的最短距离d1关于θ的表达式为d1=sin（﹣θ）．

（2）分别设点B，C到直线EF的距离为d2，d3．

由（1）知：，

∴y=2[（）2+（2）2+（）2]

=20[+]

=20﹣10（sin2θ+cos2θ）

=20﹣10sin（2），θ∈（0，），

∵∴，

∴当2=时，ymin=20﹣10（万元）

此时2，

∴tan2θ==1，

解得：tan，

∴铺设三条鹅卵石路的总费用为（20﹣10）万元，此时tanθ的值为．