Question

（2013•黄浦区二模）已知f(x)=4-

1

x

，若存在区间[a，b]⊆(

1

3

，+∞)，使得{y|y=f（x），x⊆[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是

（3，4）

．

Answer 1

分析：首先分析出函数f(x)=4-

1

x

在区间[a，b]上为增函数，然后由题意得到

4- 1 a =ma 4- 1 b =mb

，说明方程4-

1

x

=mx有两个大于

1

3

实数根，分离参数m，然后利用二次函数求m的取值范围．

解答：解：因为函数y=

1

x

在(

1

3

，+∞)上为减函数，所以函数f(x)=4-

1

x

在(

1

3

，+∞)上为增函数，
因为区间[a，b]⊆(

1

3

，+∞)，
由{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，
则

f(a)=ma f(b)=mb

，即

4- 1 a =ma 4- 1 b =mb

．
说明方程4-

1

x

=mx有两个大于

1

3

实数根．
由4-

1

x

=mx得：m=-

1

x2

+

4

x

．
零t=

1

x

，则t∈（0，3）．
则m=-t²+4t．
令g（t）=-t²+4t，图象如图，

由t∈（0，3），所以m∈（3，4）．
所以使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]的实数m的取值范围是（3，4）．
故答案为（3，4）．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了单调函数定义域及值域的关系，训练了二次函数值域的求法，考查了数学转化思想，是中档题．