题目内容

某学校需要一批一个锐角为θ的直角三角形硬纸板作为教学用具（ $数学公式$ ≤θ≤ $数学公式$ ），现准备定制长与宽分别为a、b（a＞b）的硬纸板截成三个符合要求的△AED、△BAE、△EBC．（如图所示）
（1）当θ= $数学公式$ 时，求定制的硬纸板的长与宽的比值；
（2）现有三种规格的硬纸板可供选择，A规格长80cm，宽30cm，B规格长60cm，宽40cm，C规格长72cm，宽32cm，可以选择哪种规格的硬纸板使用．

解：（1）由题意∠AED=∠CBE=θ

∵b=BE•cos30°=AB•sin30°•cos30°= $\text{[math]}$ a
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …4′
（2）∵b=BE•cosθ=AB•sinθ•cosθ= $\text{[math]}$ AB•sin2θ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin2θ
∵ $\text{[math]}$ ≤θ≤ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≤2θ≤ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]…10′
A规格： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，不符合条件．…11′
B规格： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，不符合条件．…12′
C规格： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，符合条件．…13′
∴选择买进C规格的硬纸板．…14′
分析：（1）根据准备定制长与宽分别为a、b（a＞b）的硬纸板截成三个符合要求的△AED、△BAE、△EBC，可得∠AED=∠CBE=θ从而可求θ= $\text{[math]}$ 时，定制的硬纸板的长与宽的比值；
（2）求出定制的硬纸板的长与宽的比值，根据角的范围，确定比值的范围，从而可判断哪种规格的硬纸板符合条件．
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定相似形，确定定制的硬纸板的长与宽的比值．