Question

某学校需要一批一个锐角为θ的直角三角形硬纸板作为教学用具（

5π

24

≤θ≤

π

3

），现准备定制长与宽分别为a、b（a＞b）的硬纸板截成三个符合要求的△AED、△BAE、△EBC．（如图所示）
（1）当θ=

π

6

时，求定制的硬纸板的长与宽的比值；
（2）现有三种规格的硬纸板可供选择，A规格长80cm，宽30cm，B规格长60cm，宽40cm，C规格长72cm，宽32cm，可以选择哪种规格的硬纸板使用．

Answer 1

分析：（1）根据准备定制长与宽分别为a、b（a＞b）的硬纸板截成三个符合要求的△AED、△BAE、△EBC，可得∠AED=∠CBE=θ从而可求θ=

π

6

时，定制的硬纸板的长与宽的比值；
（2）求出定制的硬纸板的长与宽的比值，根据角的范围，确定比值的范围，从而可判断哪种规格的硬纸板符合条件．

解答：解：（1）由题意∠AED=∠CBE=θ

∵b=BE•cos30°=AB•sin30°•cos30°=

3

4

a
∴

a

b

=

4 3

3

          …4′
（2）∵b=BE•cosθ=AB•sinθ•cosθ=

1

2

AB•sin2θ，∴

b

a

=

1

2

sin2θ
∵

5π

24

≤θ≤

π

3

，∴

5π

12

≤2θ≤

2π

3

，∴

b

a

∈[

3

4

，

1

2

]…10′
A规格：

30

80

=

3

8

＜

3

4

，不符合条件．…11′
B规格：

40

60

=

2

3

＞

1

2

，不符合条件．…12′
C规格：

32

72

=

4

9

∈[

3

4

，

1

2

]，符合条件．…13′
∴选择买进C规格的硬纸板．…14′

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是确定相似形，确定定制的硬纸板的长与宽的比值．