Question

（2010•天津模拟）已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线

x2

a

-y2=1的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于（　　）

• A．

  1

  9

• B．

  1

  3

• C．3
• D．9

Answer 1

分析：根据抛物线的焦半径公式得1+

p

2

=5，p=8．取M（1，4），双曲线

x2

a

-y2=1的左顶点为A（-a，0），AM的斜率为

4

1+a

，双曲线

x2

a

-y2=1的渐近线方程是y=±

1

a

x，由已知得

1

a

=

4

1+a

，由双曲线一条渐近线与直线AM平行能求出实数a．

解答：解：∵抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，
∴抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其准线的距离为5，
根据抛物线的焦半径公式得1+

p

2

=5，p=8．
∴抛物线y²=16x，
∴M（1，±4），
∵m＞0，
∴取M（1，4），
∵双曲线

x2

a

-y2=1的左顶点为A（-

a

，0），
∴AM的斜率为

4

1+ a

，
双曲线

x2

a

-y2=1的渐近线方程是y=±

1

a

x，
由已知得

1

a

=

4

1+ a

，
解得a=

1

9

．
故选A．

点评：本题考查圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线和抛物线性质的灵活运用．