Question

【题目】【浙江省名校协作体2017届高三上学期联考】已知椭圆，经过椭圆上一点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且点横坐标为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆的一条动弦，且，为坐标原点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用点在椭圆上以及直线与椭圆只有一个公共点，建立关于，的方程组，即可求解；（2）联立直线方程与椭圆方程，建立面积的函数关系式，求得函数的最值即可求解.

试题解析：（1）∵在椭圆上，故，同时联立

得，化简得，由，

可得，，故椭圆；（2）设，，直线方程为：，

联立得，故，，

由，得，

故原点到直线的距离，∴，

令，则，

又∵， 当时，，

当斜率不存在时，的面积为，综合上述可得面积的最大值为.