Question

【题目】如图，四边形中， ， ， ， ， 分别在上， ，现将四边形沿折起，使.

（1）若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（2）求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：

(1)利用折叠前后的线面平行的性质讨论可得上存在一点，使得平面，此时.

(2)由题意得到体积函数，结合二次函数的性质可知当时， 有最大值，且最大值为3，结合余弦定理和三角形面积公式可知此时点到平面的距离为.

试题解析：

（1）上存在一点，使得平面，此时.

理由如下：

当时， ，

过点作交于点，连结，

则有，

∵，可得，

故，

又， ，

故有，

故四边形为平行四边形，

∴，

又∴平面, 平面，

故有∴平面成立.

（2）设，

∴， ，

故 ，

∴当时， 有最大值，且最大值为3，

此时，

在中，由余弦定理得

，

∴，

,

设点到平面的距离为，

由于，

即，

∴，

即点到平面的距离为.