Question

已知椭圆过点,离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，直线、分别交直线 于、两点,线段的中点为.记直线的斜率为，求证: 为定值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）根据条件可得以下方程组: ，解这个方程组求出、的值便得椭圆的方程；（Ⅱ）将用表示出来，这样就是一个只含的式子，将该式化简即可.那么如何用来表示？
设，.因为A（2，0），所以直线的方程分别为：.
令得：所以的中点为：
由此得直线的斜率为：

       ①

再设直线的方程为，代入椭圆方程得:
设，，则由韦达定理得:代入①式，便可将用
表示出来，从而得到的值.
试题解析：（Ⅰ）由题设: ，解之得,所以椭圆的方程为  4分
（Ⅱ）设直线的方程为代入椭圆方程得:
设，，则由韦达定理得:
直线的方程分别为：

令,得：所以


              13分