Question

8．如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A₁点，且A₁在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A₁O⊥平面DBC．
（Ⅰ）求证：BC⊥A₁D；
（Ⅱ）求证：平面A₁BC⊥平面A₁BD；
（Ⅲ）求点C到平面A₁BD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由线面垂直得A₁O⊥BC，再由BC⊥DC，能证明BC⊥A₁D．
（Ⅱ）由BC⊥A₁D，A₁D⊥A₁B，得A₁D⊥平面A₁BC，由此能证明平面A₁BC⊥平面A₁BD．
（III）由${V}_{C-{A}_{1}BD}$=${V}_{{A}_{1}-DBC}$，能求出点C到平面A₁BD的距离．

解答 证明：（Ⅰ）∵A₁O⊥平面DBC，∴A₁O⊥BC，
又∵BC⊥DC，A₁O∩DC=O，
∴BC⊥平面A₁DC，∴BC⊥A₁D．
（Ⅱ）∵BC⊥A₁D，A₁D⊥A₁B，BC∩A₁B=B，
∴A₁D⊥平面A₁BC，
又∵A₁D?平面A₁BD，
∴平面A₁BC⊥平面A₁BD．
解：（III）设C到平面A₁BD的距离为h，
∵${V}_{C-{A}_{1}BD}$=${V}_{{A}_{1}-DBC}$，
∴$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}BD}•h$=$\frac{1}{3}{S}_{△DBC}•{A}_{1}O$，
又∵${S}_{△{A}_{1}BD}$=S_△DBC，${A}_{1}O=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$，∴$h=\frac{24}{5}$．
∴点C到平面A₁BD的距离为$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．