题目内容
13．已知直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cos90°+tcos60°}\\{y=cos45°+tcos30°}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为：ρ=-2cos（θ+$\frac{3π}{4}$），设直线l与曲线C的交点为A，B两点．（1）将直线l化成直角坐标方程，写成斜截式，并求出直线l的倾斜角；
（2）若曲线C上存在异于A，B的点C，使得△ABC的面积最大，求出面积最大值．
分析 （1）用x，y表示出参数t，列出方程整理即可；
（2）求出曲线C的普通方程，利用垂径定理求出AB，和AB边上高的最大值．
解答 解：（1）由x=cos90°+tcos60°=$\frac{1}{2}t$得t=2x，由y=cos45°+tcos30°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t得t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$y-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴直线l的直角坐标方程为2x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$y-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即6x-2$\sqrt{3}$y+$\sqrt{6}$=0．化成斜截式方程为y=$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
直线l的斜率为$\sqrt{3}$，∴直线l的倾斜角为60°．
（2）∵曲线C极坐标方程为：ρ=-2cos（θ+$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}$cosθ+$\sqrt{2}$sinθ，∴ρ2=$\sqrt{2}ρ$cosθ+$\sqrt{2}$ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y，即（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）2+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）2=1．
∴曲线C表示以（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）为圆心，以r=1为半径的圆．
圆心到直线l的距离d=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{36+12}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，∴AB=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∴△ABC的面积最大值为$\frac{1}{2}$AB×（d+r）=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{10}}{2}×（1+\frac{\sqrt{6}}{4}）$=$\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{15}}{8}$．
点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与与圆的位置关系，属于中档题．
在三棱锥P-ABCD中，底面ABC为直角三角形，AB=BC，PA⊥平面ABC．| A． | $\frac{{\sqrt{7}}}{7}$ | B． | $\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$ | C． | $\frac{{\sqrt{21}}}{7}$ | D． | $\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$ |
如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A1O⊥平面DBC．| A． | 6 | B． | 5 | C． | $\frac{5}{3}$ | D． | -$\frac{5}{3}$ |
已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，左顶点为A（-3，0），圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切．
如图，底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V-ABCD可绕着棱AB任意旋转，若AB?平面α，M、N分别是AB、CD的中点，AB=2，VA=$\sqrt{5}$，点V在平面α上的射影为点O，则当ON的最大时，二面角C-AB-O的大小是（ ）