Question

已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】（1）利用双曲线的基本量的运算和向量的数量积可得，。（2）设出直线l的方程，要注意斜率存在且不为0，直线方程与双曲线方程联立利用判别式和韦达定理，点在以线段AB为直径的圆的外部，就是，得；可得，再转化为横坐标运算，整理得，由求出。

解：（Ⅰ）由已知，， ，，

∵，则，∴，∴，

解得，，∴双曲线的方程为．·································· 4分

（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，

由得，则

解得．     ①································································· 6分

∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，

，解得．  ②

由①、②得实数k的范围是，······················································· 8分

由已知，∵B在A、Q之间，则，且，

∴，则，∴

则，··················································· 10分

∵，∴，解得，又，∴．

故λ的取值范围是．···································································· 13分