Question

已知双曲线W：的左、右焦点分别为F₁、F₂，点N（0，b），右顶点是M，且，∠NMF₂=120°．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点Q（0，-2）的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知M（a，0），N（b，0），F₂（c，0），=（-a，b）•（c-a，0）=a²-ac=-1，由∠NMF₂=120°，知∠NMF₁=60°，故b=，c=，由此能求出双曲线的方程．
（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y=kx-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得（3-k²）x²+4kx-7=0，由此入手，能够求出的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由已知M（a，0），N（b，0），F₂（c，0），=（-a，b）•（c-a，0）=a²-ac=-1，
∵∠NMF₂=120°，则∠NMF₁=60°，
∴b=，∴c=，
解得a=1，b=，∴双曲线的方程为．（4分）
（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y=kx-2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得（3-k²）x²+4kx-7=0，
则，
解得．     ①（6分）
∵点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，则，

=（1+k²）x₁x₂-（7+2k）（x₁+x₂）+53
=（1+k²）•-（7+2k）•+53
=＞0，解得k＞2．  ②
由①、②得实数k的范围是2＜k＜，（8分）
由已知，
∵B在A、Q之间，则，且λ＞1，
∴（x₁，y₁+2）=λ（x₂，y₂+2），则x₁=λx₂，
∴，
则=，（10分）
∵2＜k＜，∴4＜，解得，又λ＞1，
∴1＜λ＜7．
故λ的取值范围是（1，7）．（13分）
点评：考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．