Question

．（14分）已知函数，，其中

（Ⅰ）若是函数的极值点，求实数的值

（Ⅱ）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）∵，其定义域为，      ∴．…1分

∵是函数的极值点，     ∴，即，∵，∴．………3分

（Ⅱ）对任意的都有≥成立等价于对任意的

都有≥……………………4分

当时，．∴函数在上是增函数.

∴．………………………6分

∵，且，，………………………7分

①当且时，，

∴函数在上是增函数. ∴

.由≥，得≥，     又，∴不合题意．…………………9分

②当1≤≤时，  若1≤，则

若≤，则

∴函数在上是减函数，在上是增函数.

∴.   由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．……11分

③当且时，

∴函数在上是减函数.∴.   由≥，得≥

又，∴． ………………13分   综上所述，的取值范围为 ………………14分

【解析】略