Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知

m

=（cosB，cosC），

n

=（b，3a-c），且

m

∥

n

．
（1）求cosB的值；
（2）若S_△ABC=b=2

2

，求a，c的值．

Answer 1

分析：（1）由两向量平行及两向量的坐标，根据两向量平行时满足的特点列出关系式，再利用正弦定理变形，并两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，由sinA大于0，两边同时除以sinA，即可得出cosB的值；
（2）由第一问求出的cosB的值及B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a与c表示出三角形ABC的面积，根据已知的面积求出ac的值，再由余弦定理得b²=a²+c²-2ac•cosB，把b，cosB及ac的值代入求出a²+c²的值，将关于a与c的两关系式联立组成方程组，求出方程组的解集即可求出a与c的值．

解答：解：（1）∵

m

∥

n

，且

m

=（cosB，cosC），

n

=（b，3a-c），
∴（3a-c）•cosB-b•cosC=0，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R得：
（3sinA-sinC）•cosB-sinB•cosC=0，
化简得：3sinAcosB-（sinBcosC+cosBsinC）=3sinAcosB-sin（B+C）=0，
即3sinAcosB=sinA，
∵sinA＞0，
∴cosB=

1

3

；
（2）∵cosB=

1

3

，且B为三角形的内角，
∴sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

2

3

ac=2

2

，
∴ac=6①，又b=2

2

，cosB=

1

3

，
由余弦定理得b²=a²+c²-2ac•cosB=8，
∴把ac=6代入得：a²+c²=12②，
联立①②解得：a=c=

6

，
则a=c=

6

．

点评：此题考查了平行或共线向量的坐标表示，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．