Question

【题目】已知函数为自然对数的底数）.

⑴当时，求曲线在点，处的切线方程；

⑵讨论的单调性；

⑶当时，证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）当时，，利用导数的几何意义求得切线方程；

（2）对函数进行求导得，对分和两种情况进行分类讨论，研究导数值的正负，从而得到函数的单调区间；

（3）证明不等式成立等价于证明成立，再构造函数进行证明.

（1）当时，.

所以，

所以，又.

所以曲线在点处的切线方程为，

即.

（2）易得（）.

①当时，，此时在上单调递增；

②当时，令，得.

则当时，，此时在上单调递增；

当时，，此时在上单调递减.

综上所述，当时，函数在区间上单调递增；

当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.

（3）由（2）知，当时，在处取得最大值，

即

，

则等价于，即，

即.（※）

令，则.不妨设（），

所以（）.

从而，当时，；当时，，

所以函数在区间上单调递增；在区间上单调递减.

故当时.

所以当时，总有.

即当时，不等式（※）总成立，

故当时，成立.