题目内容

如图，椭圆，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.
（1）求实数的值
（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交与.
①证明：
②记△，△的面积分别是.若=，求的取值范围.
解：（1）由题意知：半长轴为2，则有              
                                
（2）①由题意知，直线的斜率存在，
设为，则直线的方程为.
由得，                          
设，则是上述方程的两个实根，
于是。                                                          
又点的坐标为，所以                                                             故，即，
故                  
②设直线的斜率为，则直线的方程为，
由解得或，
则点的坐标为              
又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.
于是
由得，
解得或，
则点的坐标为；    
又直线的斜率为，
同理可得点的坐标
于是
因此，                                                                   
又由点的坐标可知，，
平方后代入上式，
所以
故的取值范围为                          
练习册系列答案
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精英家教网如图，椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长．
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．
（i）证明：MD⊥ME；
（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得
S1
S2
=
17
32
？请说明理由．
（2013•宁波模拟）如图，椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．
（1）求C1、C2的方程；
（2）求证：MA⊥MB．
（3）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若
S1
S2
=λ，求λ的取值范围．
（2012•杨浦区二模）如图，椭圆C1：
x2
4
+y2=1，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长．
（1）求实数b的值；
（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA、MB分别与C1相交与D、E．
①证明：MD•ME=0；
②记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．若
S1
S2
=λ，求λ的取值范围．
（2012•临沂二模）如图，椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的短轴长．
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA、MB分别与C1相交于点D、E．
（ⅰ）证明：MD⊥ME．
（ⅱ）记△MAB、△MDE的面积分别为S1、S2，若
S1
S2
=λ，求λ的取值范围．

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