Question

如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上的点．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）祥见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC；

（2）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的郊县AB的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C-PB-A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C-PB-A的余弦值．也可建立空间直角坐标系，用向量知识来求解．

试题解析：（1）面 又 面 面面；

（2）法一：过作于，于，连结．显然面，由三垂线定理可得，即为所求角．， ．

法二：以为原点，所在的直线分别为轴，直线所在方向为轴。

则 于是

，面的一个法向量为，面的一个法向量为

由题知，所求二面角的余弦值为．

考点：１．平面与平面垂直的判定；２．二面角的平面角及其求法．