题目内容

已知向量
m
=（2
3
sin
x
4
，2），
n
=（cos
x
4
，cos2
x
4
），设f（x）=
m
•
n
，
（I）求f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．
（II）当f（x）=2时，求cos(x+
π
3
)的值．
分析：（I） 利用两个向量的数量积公式和二倍角公式 化简f（x）的解析式，由（
x
2
+
π
6
 ）=2kπ+
π
2
，解出函数取最大值时x的集合，最大值为3．
（II）当f（x）=2时，sin（
x
2
+
π
6
 ）=
1
2
，由cos(x+
π
3
)=1-2sin2(
x
2
+
π
6
)求出它的值．
解答：解：（I）f（x）=
m
•
n
=2
3
sin
x
4
cos
x
4
+2cos2
x
4
=
3
sin
x
2
+cos
x
2
+1=2sin（
x
2
+
π
6
 ）+1，
故当 （
x
2
+
π
6
 ）=2kπ+
π
2
 时，即 x=4kπ+
2π
3
，k∈z时，f（x）取最大值 为 3，
此时，x的集合为{x|x=4kπ+
2π
3
，k∈z }．
（II）当f（x）=2时，sin（
x
2
+
π
6
 ）=
1
2
，∴cos(x+
π
3
)=1-2sin2(
x
2
+
π
6
)=1-2×
1
4
=
1
2
，
故所求的式子的值等于
1
2
．
点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，二倍角公式的应用，以及函数取最值的条件，化简f（x）的解析式是解题的突破口．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=（sinB，1-cosB），向量
n
=（2，0），且
m
与
n
的夹角为
π
3
，
m
•
n
=1其中A，B，C是△ABC的内角．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，设函数f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期为π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后将图象向下平移
1
2
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上[0，
3π
4
]上的取值范围．
已知向量
m
=（-2sin（π-x），cosx），
n
=（
3
cosx，2sin（
π
2
-x）），函数f（x）=1-
m
•
n
．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）的周期及单调递增区间．
已知向量
m
=（
3
sinx，cosx），
n
=（cosx，cosx），
p
=（2
3
，1）．
（1）若
m
∥
p
，求sinx•cosx的值；
（2）若f（x）=
m
•
n
，求函数f（x）在区间[0，
π
3
]上的值域．
已知向量
m
=(sin2x，-1)，
n
=(1，cos2x)，函数f(x)=
m
•
n
．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象．

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