题目内容
【题目】在四边形
中，
，
，
，
，
，
是
上的点，
，
为
的中点．将
沿折起到
的位置，使得
.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）推导出
，
，从而得出
平面
，由此能证明面
面；
（Ⅱ）以
为原点，
为
轴，
为
轴，过作平面
的垂线为
轴，建立空间直角坐标系，利用向量法以及同角三角函数的平方关系能求出二面角
的正弦值．
（Ⅰ）
在四边形
中，
，
，
，
，
，
是
上的点，
，
，
，
，
，
由余弦定理得
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平面，
平面
，因此，平面平面；
（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则
、
、
、
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
由
，取
，则
，
，可得
.
同理可得平面
的一个法向量为
，
，
设二面角的大小为
，则
.
因此，二面角的正弦值为.
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