Question

已知函数f(x)在R上是增函数，且f(m＋1)＞f(2m－1)．

(1)求实数m的取值范围；

(2)比较f(m)和f(2)的大小；

(3)若f(2)＝1，解不等式f(x＋1)＞1．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)逆用函数单调性的定义，由函数值大小得出m＋1与2m－1的大小关系，解不等式可得实数m的取值范围；(2)先确定m与2的大小关系，再逆用函数单调性的定义，比较f(m)与f(2)的大小；(3)把不等式右边的“1”换成f(2)，即可按(1)的方法求出不等式的解集． 　　解：(1)因为函数f(x)在R上是增函数， 　　且f(m＋1)＞f(2m－1)， 　　所以m＋1＞2m－1，解得m＜2． 　　因此，实数m的取值范围是(－∞，2)． 　　(2)因为函数f(x)在R上是增函数，且m＜2， 　　所以f(m)＜f(2)． 　　(3)因为f(2)＝1， 　　所以，不等式f(x＋1)＞1可转化为f(x＋1)＞f(2)． 　　又因为函数f(x)在R上是增函数， 　　所以x＋1＞2，解得x＞1， 　　因此，不等式f(x＋1)＞1的解集为{x|x＞1}． 　　点评：(1)中已知单调性和函数值的大小关系，研究变量值的大小问题．(2)中已知单调性和自变量值的大小关系，研究函数值的大小问题．(3)中逆用函数单调性的定义解不等式问题，其中单调性的功能是脱去不等式中的对应关系“f”，把不等式等价转化．逆用函数单调性的定义时，需记住：若一个函数在某区间上是增函数，则自变量值的大小关系与函数值的大小关系是一致的；若是减函数，则是相反的．