Question

an=

n+2

n!+(n+1)!+(n+2)!

，s_n为其前n项和，则

lim

n→∞

sn=（　　）

• A、0
• B、

  1

  2

• C、

  2

  3

• D、不存在

Answer 1

考点：数列的极限,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用n!=1×2×3×…×n，可将an=

n+2

n!+(n+1)!+(n+2)!

化简为：a_n=

1

(n+1)!

-

1

(n+2)!

，再求和后取其极限即可．

解答： 解：∵an=

n+2

n!+(n+1)!+(n+2)!

=

n+2

n![1+(n+1)+(n+2)(n+1)]

=

n+2

n!(n+2)2

=

1

n!(n+2)

=

1

(n+1)!

-

1

(n+2)!

，
∴a₁+a₂+…+a_n=[（

1

2!

-

1

3!

）+（

1

3!

-

1

4!

）+…+（

1

(n+1)!

-

1

(n+2)!

）]
=

1

2!

-

1

(n+2)!

，
∴

lim

n→∞

sn=

lim

n→∞

（

1

2!

-

1

(n+2)!

）=

1

2!

-

lim

n→∞

1

(n+2)!

=

1

2!

-0=

1

2!

=

1

2

．
故选：B．

点评：本题考查数列的极限，化简a_n=

1

(n+1)!

-

1

(n+2)!

是关键，考查裂项法求和，突出转化思想的考查．