Question

在数列{a_n}中，S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1，当n≥2时，Sn2=an(Sn-

1

2

)
（1）求证{

1

Sn

}为等差数列，并求a_n；
（2）设b_n=

Sn

2n+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）是否存在自然数m，使得对任意自然数n∈N^*，都有T_n＜

1

4

(m-8)成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用当n≥2时，Sn2=an(Sn-

1

2

)，可得Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，化简可得2=

1

Sn

-

1

Sn-1

，从而可以证明{

1

Sn

}为等差数列，并求出a_n；
（2）利用裂项法求和，即可得到结论；
（3）令T（x）=

x

2x+1

=

1

2

(1-

1

2x+1

)，则T（x）在[1，+∞）上是增函数，可得T_n＜

1

2

，从而可得结论．

解答：（1）证明：∵当n≥2时，Sn2=an(Sn-

1

2

)
∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)
∴2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
∴2=

1

Sn

-

1

Sn-1

∵a₁=1，∴

1

S1

=1
∴{

1

Sn

}是1为首项，2为公差的等差数列，
∴

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1
∴Sn=

1

2n-1

∴当n≥2时，a_n=-

2

(2n-1)(2n-3)

∵a₁=1，
∴a_n=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

；
（2）b_n=

Sn

2n+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

[1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

；
（3）令T（x）=

x

2x+1

=

1

2

(1-

1

2x+1

)，则T（x）在[1，+∞）上是增函数
当x≥1时，

1

3

≤T(x)＜

1

2

，∴T_n＜

1

2

令

1

4

(m-8)≥

1

2

，则m≥10，
∴存在自然数m，使得对任意自然数n∈N^*，都有T_n＜

1

4

(m-8)成立，m的最小值为10．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．