Question

我们把离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”．设（a＞b＞0）为“优美椭圆”，F．A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端点，则∠ABF等于

1. A.
   60°
2. B.
   75°
3. C.
   90°
4. D.
   120°

Answer 1

C
分析：由可得验证|FA|²=|FB|²+|AB|²成立所以所以∠FBA等于 90°．
解答：∵，∴
在三角形FAB中有b²+c²=a²，|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=，∴|FA|²=（a+c）²=a²+c²+2ac，|FB|²+|AB|²=2a²+b²=3a²-c²，∴|FA|²=|FB|²+|AB|²=，所以∠FBA等于 90°．
故选C．
点评：解决此类问题关键是熟练掌握椭圆的几何性质，以及利用边长关系判断三角形的形状的问题．