题目内容
已知实数x，y满足（3x+y）5+x5+4x+y=0，则4x+y=分析：把（3x+y）5+x5+4x+y=0化为（3x+y）5+（3x+y）+x5+x=0．令3x+y=t，可得t5+t+x5+x=0．因式分解为（t+x）（t4-xt3+x2t2-x3t+x4+1）=0．再证明（t4-xt3+x2t2-x3t+x4+1）＞0．即可得到t+x=0．
解答：解：（3x+y）5+x5+4x+y=0，化为（3x+y）5+（3x+y）+x5+x=0．
令3x+y=t，则t5+t+x5+x=0．
因式分解为（t+x）（t4-xt3+x2t2-x3t+x4+1）=0．
∵t4-xt3+x4-x3t=（t-x）（t3-x3）≥0，
∴（t4-xt3+x2t2-x3t+x4+1）＞0．
∴t+x=0，
即4x+y=0．
故答案为：0．
令3x+y=t，则t5+t+x5+x=0．
因式分解为（t+x）（t4-xt3+x2t2-x3t+x4+1）=0．
∵t4-xt3+x4-x3t=（t-x）（t3-x3）≥0，
∴（t4-xt3+x2t2-x3t+x4+1）＞0．
∴t+x=0，
即4x+y=0．
故答案为：0．
点评：本题考查了多项式的因式分解、乘法公式，属于中档题．
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