题目内容
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0成立，则不等式x2•f（x）＞0的解集是
- A.（-2，0）∪（2，+∞）
- B.（-∞，-2）∪（2，+∞）
- C.（-2，0）∪（0，2）
- D.（-∞，-2）∪（0，2）
D
分析：令g（x）=
，依题意，可求得0＜x＜2或x＜-2时f（x）＞0，从而可求得不等式x2•f（x）＞0的解集．
解答：
解：g（x）=，
则g′（x）=
，
∵当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0成立，
∴当x＞0时，g′（x）＜0，
∴g（x）=在（0，+∞）上单调递减，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，
∴g（-x）=
=
=g（x），
∴g（x）为偶函数，且g（2）=0，
∴当0＜x＜2时，g（x）＞0，于是此时f（x）＞0；
同理可得，当x＜-2时，g（x）＜0，于是此时f（x）＞0；
∴f（x）＞0的解集为{x|x＜-2或0＜x＜2}
∴不等式x2•f（x）＞0的解集就是f（x）＞0的解集，为{x|x＜-2或0＜x＜2}．
故选D．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性与单调性，考查分析与作图能力，属于中档题．
分析：令g（x）=
，依题意，可求得0＜x＜2或x＜-2时f（x）＞0，从而可求得不等式x2•f（x）＞0的解集．解答：
解：g（x）=，则g′（x）=
，∵当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0成立，
∴当x＞0时，g′（x）＜0，
∴g（x）=
在（0，+∞）上单调递减，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，
∴g（-x）=
==g（x），∴g（x）为偶函数，且g（2）=0，
∴当0＜x＜2时，g（x）＞0，于是此时f（x）＞0；
同理可得，当x＜-2时，g（x）＜0，于是此时f（x）＞0；
∴f（x）＞0的解集为{x|x＜-2或0＜x＜2}
∴不等式x2•f（x）＞0的解集就是f（x）＞0的解集，为{x|x＜-2或0＜x＜2}．
故选D．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性与单调性，考查分析与作图能力，属于中档题．
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