Question

【题目】已知f（x）=lnx+a（1-x）,问:（1）讨论f（x） 的单调性；（2）当 f（x）有最大值,且最大值大于2a-2 时,求a的取值范围.
（1）（I）讨论f（x） 的单调性；
（2）（II）当 f（x）有最大值,且最大值大于2a-2 时,求a的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）

f（x）在（0，）单调递增，在（，+）单调递减

（2）

（0,1）

【解析】
（I)a0，f（x）在（0，+）是单调递增
a0.f（x）在（0，）单调递增，在（ ， +）单调递减
f（x）的定义域为（0，+），f’（x）=-a,若a0，则f’（x）0，f（x）在（0，+）是单调递增
若a0，则当x（0，）时，f’（x）0，
当x（ ， +）时，f’（x）0
所以f（x）在（0，）单调递增，在（ ， +）单调递减。
(II).由（I）知，当a0时，f（x）在（0，+）无最大值
当a0.f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=ln（）+a（1-）=-lna+a-1
因此f（）2a-2lna+a-10
令g（a）=lna+a-1，则g（a）在（0，+）是增函数，g（1）=0，于是，当0a1时g（a）0，当a1时，g（a）0，因此a的取值范围是（0,1）。
【考点精析】通过灵活运用函数单调性的判断方法，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较即可以解答此题．