Question

若函数f（x）=sin²ax-

3

sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为

π

2

．
（1）求m和a的值；
（2）若点A（x₀，y₀）是y=f（x）图象的对称中心，且x₀∈[0，

π

2

]，求点A的坐标．

Answer 1

分析：（1）先通过二倍角公式、两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为y=Asin（wx+φ）+b的形式，根据T=

π

2

=

2π

w

可求出a，函数f（x）的最大值等于m等于A+b可求m的值．
（2）若点A（x₀，y₀）是y=f（x）图象的对称中心，且x₀∈[0，

π

2

]，求出x=

kπ

4

-

π

24

 利用0≤

kπ

4

-

π

24

≤

π

2

，求出点A的坐标．

解答：解：（1）f(x)=sin2ax-

3

sinaxcosax=

1-cos2ax

2

-

3

2

sin2ax
=

1

2

-(

1

2

cos2ax+

3

2

sin2ax)=

1

2

-sin(2ax+

π

6

)
∵T=

π

2

，f(x)最大值=m，m=-

1

2

，或m=

3

2

 
T=

π

2

，所以a=2；m=-

1

2

，或m=

3

2

（2）∵f（x）=-sin（4x+

π

6

）+

1

2

，∴sin（4x+

π

6

）=0，得4x+

π

6

=kπ   k∈Z
∴x=

kπ

4

-

π

24

  k∈Z，由0≤

kπ

4

-

π

24

≤

π

2

   k∈Z，得k=1或k=2
因此点A的坐标为(

5π

24

，

1

2

)或(

11π

24

，

1

2

)．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，两角和的正弦函数的应用，函数的对称性，考查计算能力．