Question

在△ABC中，若acos2

C

2

+cos2

A

2

=

3b

2

，求证：a，b，c成等差数列．

Answer 1

分析：由二倍角的余弦公式，化简整理得sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=

3

2

sinB，再将左边展开并利用和的正弦公式合并，结合sin（A+C）=sinB消元得到sinA+sinC=2sinB，最后由正弦定理化简即可得a+c=2b，得到a，b，c成等差数列．

解答：解：∵cos2

C

2

=

1+cosC

2

，cos2

A

2

=

1+cosA

2

∴由acos2

C

2

+cos2

A

2

=

3b

2

，得a•

1+cosC

2

+c•

1+cosA

2

=

3b

2

…（4分）
由正弦定理，得sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=

3

2

sinB
∴sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB…（6分）
整理，得sinA+sin（A+C）+sinC=3sinB（*）…（8分）
∵在△ABC中A+B+C=π，∴sin（A+C）=sinB…（10分）
因此，在（*）式两边消去一个sinB，得sinA+sinC=2sinB，
再由正弦定理，得a+c=2b，所以a，b，c成等差数列…（13分）

点评：本题给出三角形ABC的边角关系的等式，求证三边成等差数列，着重考查了三角恒等变换和利用正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．