Question

9．不等式$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥λ（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$）对任意非负实数a．b恒成立，则正数λ的取值范围为（　　）

• A． （0，1]
• B． （0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]
• C． （0，$\sqrt{2}$]
• D． （0，2]

Answer 1

分析 利用$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≥$\frac{a+b}{2}$，可得$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$，结合不等式$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥λ（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$）对任意非负实数a．b恒成立，即可得出正数λ的取值范围．

解答 解：∵$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≥$\frac{a+b}{2}$，
∴$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$，
∵不等式$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$-$\sqrt{ab}$≥λ（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$）对任意非负实数a．b恒成立，λ＞0
∴0＜λ≤1．
故选：A．

点评 本题考查正数λ的取值范围，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≥$\frac{a+b}{2}$是关键．