Question

已知函数f（x）满足f(x+1)=

1

f(x)

，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据题意知函数是一个偶函数且周期是2，写出函数在[-1，0]，[2，3]，[-1，0）上的函数解析式，根据g（x）仍为一次函数，有4个零点，故在四段内各有一个零点．分别在这四段上讨论零点的情况，零点的范围，最后求出几种结果的交集．

解答：解：由于f（x+2）=f（x）．∴f（x）是周期为2的函数，
x在[0，1]，f（x）=x 由于f（x）是偶函数，x在[-1，0]，f（x）=-x
f（x）是周期为2的函数 f（2）=f（0）=0 函数解析式：y=-x+2 x在[2，3]时，
函数解析式：y=x-2 g（x）仍为一次函数，有4个零点，
故在四段内各有一个零点．
x在[-1，0），g（x）=-x-kx-k=-（k+1）x-k 令g（x）=0，∴x=-

k

k+1

∴-1≤-

k

k+1

＜0，解得k＞0
x在（0，1]，g（x）=x-kx-k=（1-k）x-k，令g（x）=0，∴x=

k

k+1

∴0＜

k

k+1

≤1 解的0＜k≤

1

2

x在（1，2]，g（x）=-x+2-kx-k=-（k+1）x+2-k，令g（x）=0，∴x=

2-k

k+1

∴1＜

2-k

k+1

≤2，解的0≤k＜

1

2

x在（2，3]，g（x）=x-2-kx-k=（1-k）x-2-k，令g（x）=0，∴x=

k+2

1-k

∴2＜

k+2

1-k

≤3，解的0＜k≤

1

4

综上可知，k的取值范围为：0＜k≤

1

4

故答案为：（0，

1

4

]．

点评：学生知识经验已较为丰富，智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以本题符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展．