Question

设是各项都为正数的等比数列, 是等差数列,且，

(1)求,的通项公式；

(2)记的前项和为，求证：；

(3)若均为正整数,且记所有可能乘积的和，求证：．

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）证法一：放缩法；

（2）证法二： 应用

（3）证法一：错位相减法；证法二：用数学归纳法证明。

【解析】

试题分析：（1）设的公比为的公差为，则     2分

解得所以        5分

（2）证法一：由题意得                 6分

                8分

所以         9分

（2）证法二：由题意得              6分

，当时

且也成立，               8分

所以              9分

（3）证法一：由题意

  11分

令

以上两式相减得 13分

又，所以             14分

证法二：用数学归纳法证明。

（1）当时，所以结论成立。       10分

（2）假设当时结论成立，即。       11分

当时，

，所以当时也成立               13分

综合（1）、（2）知对任意都成立           14分

考点：本题主要考查等比数列的通项公式，“错位相减法”，数学归纳法。

点评：典型题，本题综合性较强，处理的方法多样。涉及数列不等式的证明问题，提供了“错位相减求和、放缩、证明”和“数学归纳法”等证明方法，能拓宽学生的视野。