题目内容
若直线l与圆⊙O：x2+y2=9，交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB是等边三角形，则x1x2+y1y2=________．
分析：由△AOB是等边三角形，可得AO=BO=AB=3，故考虑直线了l的斜率存在情况：分别就k存在与不存在两种情况讨论：当直线的斜率不存在时容易求解当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：y=kx+b，联立方程
可得（1+k2）x2+2kbx+b2-9=0，由已知可得O到直线的距离
，利用点到直线的距离可得b，k的关系，然后根据方程根与系数的关系代入求解，可得答案．解答：由△AOB是等边三角形，可得AO=BO=AB=3
当直线的斜率不存在时可得满足条件的直线 L：y=±
，此时x1x2+y1y2=当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：y=kx+b
联立方程
可得（1+k2）x2+2kbx+b2-9=0∴
由已知可得O到直线的距离
，利用点到直线的距离可得
x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2
=
=
故答案为：
点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质，联立直线方程与曲线方程是解决弦长问题常见的方法，而利用点到直线的距离公式可以简化计算．
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